MEECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [280]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

Em física estatística a equação de coagulação de Smoluchowski é uma equação integrodiferencial introduzida por Marian Smoluchowski em sua publicação seminal de 1916^[1] descrevendo a evolução temporal da concentração de particuas coagulando (processo de floculação).

Equação

No caso do tamanho das particulas ser modelado por uma distribuição contínua, a equação possui integrais:

{\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}K(x-y,y)n(x-y,t)n(y,t)\,dy-\int _{0}^{\infty }K(x,y)n(x,t)n(y,t)\,dy.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

No caso do tamanho das partículas ser modelado por variáveis discretas, i.e. quando as particulas se juntarem formando classes discretas de agregados com tamanhos fixos, então a equação possui somatórias:

{\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{i-1}K(x_{i}-x_{j},x_{j})n(x_{i}-x_{j},t)n(x_{j},t)-\sum _{j=1}^{\infty }K(x_{i},x_{j})n(x_{i},t)n(x_{j},t).

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

No caso discreto, cada somatória pode ser interpretada como uma função de fluxo de massa. Assim,

{\frac {\partial n(x_{i},t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}J_{e}-J_{s},

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $J_{e}$ é o fluxo de entrada de massa vindo de partículas menores, e $J_{e}$ é o fluxo de saída para agregados maiores.

A quantidade n tem a unidade de partículas por volume (concentração volumétrica).

Kernel de Coagulação

O operador linear K é chamado de kernel. Ele descreve a taxa com a qual partículas de tamanho x se aglutinam com outros partículas de tanho y. Soluções analíticas para a equação de Smoluchowski existem quando o kernel tem uma das seguintes formas:

K=1,\quad K=x+y,\quad K=xy,

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

conhecidas respectivamente como constante, aditiva and multiplicativa. No entanto, na maioria das aplicações práticas o kernel possui formas significamente mais complexes, por exemplo o kernel que descreve a colisão de moléculas de gás,

K={\sqrt {\frac {\pi k_{b}T}{2}}}\left({\frac {1}{m(x)}}+{\frac {1}{m(y)}}\right)^{1/2}\left(d(x)+d(y)\right)^{2}.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Geralmente, equaçõs de coagulação que modelando kernels fisicamente realistas não precisam ser resolvidos numericamente. Existem métodos determinísticos que podem ser usados se somente houver uma unica classe de particulas (x) de interesse. No caso de sistemas multivariáveis entretanto, quando duas ou mais propriedadas (como tamanho, forma ou composição do agregado) são incluidas, aproximações especiais que sofrem menos da maldição da dimensionalidade precisam ser aplicadas. Por exemplo, aproximações baseadas em funções gaussianas de base radial podem ser aplicadas para equação de coagulação bidimensionais.^[2] Quando a precisão da solução não é de tão importante métodos estocásticos são bastante atraentes.

Em física (mais especificamente, em teoria cinética) a relação de Einstein (também conhecida como relação de Einstein–Smoluchowski) é uma conexão inesperada revelada anteriormente de forma independente por Albert Einstein em 1905 e por Marian Smoluchowski (1906) em seus estudos sobre movimento Browniano. Dois importantes casos especiais da relação são:

D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

(difusão de partículas carregadas)

D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

("equação de Einstein–Stokes", para a difusão de partículas esféricas através de um líquido com baixo número de Reynolds)

onde

D é a constante de difusão,
q é a carga elétrica da partícula,
μ_q, a mobilidade elétrica da partícula carregada, i.e. a razão da velocidade de deriva terminal da partícula para um campo elétrico aplicado,
$k_{B}$ $k_{B}$ é a constante de Boltzmann,
T é a temperatura absoluta,
η é a viscosidade
r é o raio da partícula esférica.

A forma mais geral da equação é:

D=\mu \,k_{B}T

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde a "mobilidade" μ é a razão da velocidade de deriva terminal da partícula a uma força aplicada, μ = v_d / F.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Esta equação é um exemplo inicial do relação de flutuação-dissipação. É frequentemente usada no fenômeno de eletrodifusão.

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Para uma partícula com carga q, sua mobilidade elétrica μ_q é relacionada a sua mobilidade generalizada μ pela equação μ=μ_q/q. Entretanto, a forma geral da equação

D=\mu \,k_{B}T

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

é no caso de uma partícula carregada:

D={\frac {\mu _{q}\,k_{B}T}{q}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Equação de Einstein–Stokes

No limite de baixos números de Reynolds, a mobilidade $\mu$ é o inverso do coeficiente de arrasto $\zeta$ . Uma constante de amortecimento, $\gamma$ , é frequentemente usada no contexto de $\gamma ^{-1}$ , o que implica que o tempo de relaxamento de momento (o tempo necessário para o momento de inércia tornar-se negligenciável comparado ao momento aleatório) do objeto difusivo.

Para partículas esféricas de raio $r$ , a lei de Stokes fornece

\zeta =m\gamma =6\pi \,\eta \,r,

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $\eta$ é a viscosidade do medio. Então a relação de Einstein torna-se

D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Semicondutor

Em um semicondutor com uma densidade dos estados arbitrária a relação de Einstein é^[1]

D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $\eta$ é o potencial químico e p o número de partículas.

Em física estatística, uma equação de Langevin é uma equação diferencial estocástica que descreve o movimento de uma variável aleatória (e.g., a posição de uma partícula suspensa num liquido) quando sujeita a um potencial; geralmente, é este potencial que impõe a natureza aleatória ao sistema. Este potencial, normalmente, pode ser decomposto em duas componentes: um potencial estático (e.g., campo elétrico) e um potencial aleatório. Um exemplo típico do uso destas equações é o movimento browniano onde a variável aleatória é a posição de uma partícula embutida num banho térmico e o potencial é o efeito da temperatura do banho, ou seja, o efeito das colisões entre a partícula e as moléculas do banho térmico.

Exemplos de equações de Langevin

Movimento browniano

A equação de Langevin original, desenvolvida por Paul Langevin,^[1] foi utilizada para descrever o movimento browniano. Neste processo, o movimento de uma partícula browniana de massa $m$ e posição ${\boldsymbol {x}}(t)$ é apenas uma consequência das colisões entre a partícula e as moléculas do meio envolvente. Estas colisões levam a dois efeitos. O primeiro, macroscópico, é conhecido como atrito viscoso e pode ser expresso como uma força $-\gamma {\boldsymbol {v}}(t)$ onde $\gamma$ é o coeficiente de amortecimento (próprio do meio envolvente) e ${\boldsymbol {v}}(t)={\dot {\boldsymbol {x}}}(t)$ é a velocidade da partícula. O segundo efeito, estocástico, é uma força (ou ruído) ${\boldsymbol {\eta }}(t)$ que se assume ser Gaussiana de media nula $\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {0}}$ , graças à lei dos grandes números, e função de correlação $\left\langle \eta _{i}(t)\eta _{j}(t')\right\rangle =2d\gamma mk_{B}T\delta _{ij}\delta (\left\vert t-t'\right\vert )$ para todas as direções $i,j$ do espaço de $d$ dimensões onde $k_{\text{B}}$ é a constante de Boltzmann e $T$ é a temperatura do meio envolvente.

Aplicando a segunda lei de Newton obtemos:

m{\boldsymbol {a}}(t)=-\gamma \mathbf {v} (t)+{\boldsymbol {\eta }}(t),

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde ${\boldsymbol {a}}(t)={\ddot {\boldsymbol {x}}}(t)$ é a aceleração da partícula.

Esta equação de Langevin pode ser integrada (por via de uma transformada de Laplace por exemplo):

m{\boldsymbol {v}}(t)=m{\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma \tau }{\boldsymbol {\eta }}(t-\tau )

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Daqui podemos tirar varias conclusões, como por exemplo:

$\left\langle {\boldsymbol {v}}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}+{\frac {1}{m}}\int _{0}^{t}d\tau \ e^{-\gamma (t-\tau )}\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(\tau )\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}e^{-\gamma t}$ ;

$\left\langle {\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\boldsymbol {v}}_{0}^{2}e^{-2\gamma t}+{\frac {1}{m^{2}}}\int _{0}^{t}d\tau \int _{0}^{t}d\tau '\ e^{-2\gamma \tau }\left\langle {\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ){\boldsymbol {\eta }}(t-\tau ')\right\rangle =\left({\boldsymbol {v}}_{0}^{2}-{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}\right)e^{-2\gamma t}+{\frac {dk_{\text{B}}T}{m}}$ ;

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

note-se que quando o sistema se encontra em equilíbrio $(t\rightarrow \infty )$ a velocidade média da partícula é nula e

\left\langle {\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}(t)\right\rangle ={\frac {d}{2}}k_{\text{B}}T,

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

este é o famoso resultado do teorema da equipartição (de energia) para a energia média de partículas num gás perfeito.

Circuito elétrico com ruido térmico

Outros sistemas podem ser tratados da mesma maneira tais como o ruido térmico numa resistência elétrica:

L{\frac {dI(t)}{dt}}=-RI(t)+v(t).

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Pesquisar este blog

MEECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [280]

Equação

Kernel de Coagulação

Derivações de casos especiais da forma geral

Equação da mobilidade elétrica

Equação de Einstein–Stokes

Semicondutor

Exemplos de equações de Langevin

Movimento browniano

Circuito elétrico com ruido térmico

Comentários

Postar um comentário

Postagens mais visitadas deste blog